Sunday, 21 April 2019

වසර හැටපහකට පමණ ඉහතදී ගණිත පන්තියේදී අත්විඳින ලද රසමුසු තැන් කිහිපයක් හදිසියේ මතක් විය. ....


  මාගේ පොත් අල්මාරියේ යටම තට්ටුවේ අසුරා තිබුණු, වසර ගණනාවක් තිස්සේ පෙරළා බැලීමටවත් නොහැකිවූ, පරණ පොත් කිහිපයක, දූවිලි පිස දමද්දී වසර හැටකට පමණ ඉහත අතීතය නැවත මතක් කළ පොතක් හමුවිය.  ඒ පොත හා බැඳුණු රසමුසු සිද්ධි මාලාව මෙසේ සටහන් කරමි.

එසේ හමුවූ පැරණි පොත වීජ ගණිතය (ජ්‍යාමිතිය) පොතකි. ‘A new Geometry for Junior Forms – Bernard and Child.’ නම් එම ගණිත පොත, එංගලන්තයේ මැක්මිලන් ප්‍රකාශණයකි. 

ඒ කාලයේ අටවන පන්තියේ සිටි අප සියලුම විෂයයන් ඉගෙන ගත්තේ  ඉංග්‍රීසි මාධ්‍යයයෙනි. සිංහලද  අනිවාර්ය විෂයයක් විය. අපට ගණිතය ඉගැන්වූයේ ඩොනල්ඩ් ගුණසේකර නම් කඩවසම් ගුරු මහත්මයෙකි. ඔහු සිංහලෙන් කථා කළේ ඉතාමත් කලාතුරකිනි. ඒවා ‘කැඩිච්ච සිංහල’ විය. චතුර ලෙස ඉංග්‍රීසි කථාකළ ඔහුගේ ඇඳුම, සුදු කලිසම, සුදු කමිසය සහ සුදු කබායක්ද විය. ඔහු ඇඳුම් කට්ටලයට විවිධ ‘ටයි’ පටිද පලඳීන්නෙකි. අපේ ගුරුතුමාට තිබෙන ටයි පටි සංඛ්‍යාව ගණන් කිරීමට අපි කිහිප වරක්ම පටන් ගත්තත්, ඒවායේ ඇති විවිධ රටා  මතක තබාගැනීමට අපහසු විය.  පන්තියේ සිටි  චිත්‍ර ඇඳීමට දක්‍ෂ එක් සගයෙක්, ඒ ඒ දිනවල ගුරුතුමා පළඳින ටයි පටිවල රටා පොතක අඳින්නට පටන් ගත්තේය. කෙසේ හෝ ඔහුට ටයි පටි වල තිබුණු රටා විස්සක්  පමණ  සටහන් කර ගැනීමට හැකිවිය.

ගණිතය විෂයය සඳහා වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය යන කොටස් දෙකක් තිබුණත්, ගුරුතුමා වැඩි කැමැත්තක් දැක්වුයේ ජ්‍යාමිතියටය. අපගේ ජ්‍යාමිතිය පන්ති පොතෙහි, අභ්‍යාස  අනු පිළිවෙල වුයේ, එක්තරා ප්‍රමේයයක් (theorem) විස්තර කර එයට අදාල ගැටළු රාශියක් ඉදිරිපත් කිරීමයි.
ගුරුතුමා නිරතුරුවම,  අභ්‍යාස දීම සඳහා, පන්තියේ ඉදිරි පෙළෙහි වාඩිවී සිටි මාගේ ජ්‍යාමිතිය පොත ඉල්ලා ගැනීමට පුරුදුවී සිටියේය.

සෑම ගණිත පාඩමකදීම, ප්‍රමේයය සහ ගණිතමය සංකල්ප අපට ඉතා හොඳින් විස්තර කරදෙන ගුණසේකර සර්, අපට තෝරාදෙන ප්‍රමේයයට අදාළ ගැටළු පහක්වත් විසඳීම අනිවාර්ය විය. අපද තරඟයට මෙන් එම ගැටළු විසඳුවෙමු. අප ගැටළු විසඳන තුරු පන්තිය වටේ යන ඔහු වරින් වර විහිලුවක්ද කරයි. සමහර විහිලු අපට නොතේරුණත්, අපි ඒවාට සිනහ වීමට පුරුදුව සිටියෙමු.

එක් දිනක ඔහු අපට දුන් ගැටලුවක් සඳහා පන්තියේ කිසිවෙකුට  විසඳුමක් ලබා ගත නොහැකි විය. ගුණසේකර සර්ද  ගැටලුව කලුලෑල්ළේ, විවිධ නිර්මාණ (constructions) කිහිපයක්ද යොදා, විසඳීමට  උත්සාහ කළත් විසඳුමක් නොලැබුණි. ඔහු මෙවේලේ  සිංහලෙන් කතා කළේය

‘ළමා...යි,....මේකට ‘සොලුයුෂන්’ නැහැ. පොතේ ‘එඩිටර්ට’ වැරදීමක් වෙලා ...... වගෙයි. මේක Bernard ගේ   එකක් නොවෙයි, එයාගේ  Child ගෙ එකක් වෙන්නට ඇති.... !’

කියා මහා හඬින් සිනාසෙන්නට විය.

අප කිහිප දෙනෙකුට විහිලුව නොතේරුණි. ඒ බව තේරුම් ගත් ගුරුතුමා, මේසය මත තිබුණු මගේ මෙම පොතම ඔසවා පන්තියට පෙන්වා,

‘පේනවා නේද මේ පොත ලියලා තියෙන්නේ ‘Bernard and Child’, ඒ කියන්නේ Bernard සහ එයාගේ ‘පුතා’! , ඒකයි මේ දෝෂය. පුතා ගණිතයට දුර්වලයි. ඒ ප්‍රශ්නය  අත හැර දාන්න.’  

කියා නැවතත් මහ හඬින් සිනාසෙන්නට පටන් ගත්තේය.

ඊට පසු, අපි අපගේ ජ්‍යාමිතිය පොත විහිලුවටත් සමග  ‘Bernard and  Child’ නොව  ‘Bernard and  his Child’ ලෙස නම් කළෙමු.

ගුණසේකර සර්ගේ තවත් විශේෂත්වයක් මෙහිදී සිහියට නැගේ.

ජ්‍යාමිතියෙදී, යම්කිසි ගැටළුවක් විසඳූ  විගසම එයට යටින් ‘Q.E.D’ යන්න ලිවිය යුතුමය, යන්න ඔහු නිතර අවධාරණය කරන දෙයකි.  මෙය "Quod Erat Demonstrandum" යන ලතින් වාක්‍ය ඛණ්ඩයේ කෙටි යෙදීමයි. එහි තේරුම වනුයේ ‘අසා ඇති දේ ඔප්පු කර තිබේ.’ යන්නයි.

මේ ආකාරයටම   ජ්‍යාමිතියෙදී, යම්කිසි නිර්මාණයක් කල විට ‘Q.E.F’ යන කෙටි යෙදුමද අත්‍යාවශ්‍ය බව ඔහු තරයේම කියා සිටී. මෙයින් හැඟවෙන්නේ Quod Erat Faciendum යන ලතින් වාක්‍ය ඛණ්ඩයේ කෙටි යෙදීමයි. එහි තේරුම වනුයේ ‘අසා ඇති දේ සඳහා නිර්මාණයක් කර තිබේ.’ යන්නයි.

ගුණසේකර ගුරුතුමා ‘Q.E.D’ සහ ‘Q.E.F’ ලතින් වාක්‍ය ඛණ්ඩ දෙක පන්තියේදී, කිහිපවිටක්ම උච්චාරණය කර අපට සිහිපත් කිරීමට උත්සාහයක් ගත්තේය.

කුඩා කළ, අප ගණිත පාඩම් වලදී පුරුදු පුහුණු කරනලද මෙම වාක්‍ය ඛණ්ඩ  ග්‍රීක් භාෂාවේ සිට ලතින් භාෂාවට කරනලද පරිවර්තනයන්ය. Euclid  සහ Archemedes  වැනි පැරණි ගණිතඥන් විසින්ද මෙම වාක්‍ය ඛණ්ඩ  එලෙසම භාවිත කර ඇති බව වාර්තා වේ. අපගේ ගුරු තුමාද එම පැරණි  සම්ප්‍රදාය එලෙසම රැකීම අපි අගය කළෙමු. මෙම යෙදුම් වලට සමාන අර්ථය ඇති කෙටි යෙදුම්, වෙනත් විවිධ භාෂාවලින්ද යොදාගන්නා බව පසුව දැනගන්නට ලැබිණ. සිංහලෙන් නම්  එබඳු යෙදීම් නොමැතියයි සිතමි.

‘A new Geometry for Junior Forms – Bernard and Child.’ පොත මුලින්ම මුද්‍රණය කර තිබෙන්නේ 1905 වසරේදීය. මගේ පොත 1950 වර්ෂයේ  18  වන මුද්‍රණයයි. 

S Barnard (MA) සහ J M Child (MA)  මහා බ්‍රිතාන්‍යයයේ සිටි ගණිත ඉතිහාසඥයින් දෙදෙනෙකි. මෙම කතුවරු දෙදෙනාගේ ‘A new Geometry for Junior Forms’ ජ්‍යාමිතිය පොත, මූලික ගණිත සංකල්ප ඉගැන්වීමට අදාළ සම්භාව්‍ය ග්‍රන්ථයක් ලෙස අදද පිළිගැනේ.

වසර හැටපහකට පමණ පෙර අපට ගණිතය ඉගැන්වූ දක්‍ෂ ගුරුවරයෙකු විසින් ගතානුගතික පෙළඹවීම නිසා හෝ, එකළ අනිවාර්යෙන්ම අවශ්‍යයමැයි සිතන ලද ‘Q.E.D’ සහ ‘Q.E.F’ ගැන,  අපට  අදටත් වැඩිදුර සිතීමට දෙයක්, ඉතිරි කර තිබීම කෙතරම් අගනේද?
   

28 comments:

  1. Replies
    1. ස්තුතියි ඉරංග,
      මාගේ Blog සටහන් වල පරිසරයට සම්බන්ධ තොරතුරු වලට අමතරව, මෙවැනි රසබර ජීවිත අත්දැකීම් විස්තර කිරීමටත් උනන්දුවක් ගන්නවා. මේ සිද්ධියත් හදිසියේම වාගේ මතක් පාසල් කාලයේ රසවත් එකක්.

      Delete
  2. අපරාදේ ඉංගිරිසියෙන් උගන්වන එක නැවැත්තුවේ

    ReplyDelete
    Replies
    1. ස්තුතියි ලක්මාල්,
      ඒක නොවෙන්නම්, අපි ඉන්ග්‍රීසියෙන් ඉගෙන ගන්නා කාළේ සිංහල භාෂාව සහ සාහිත්‍යය ගැනත් හොඳ දැනුමක් තිබුණා. සාමාන්‍ය පෙළ දක්වා පමණක් සිංහල විෂයයක් වශයෙන් ඉගෙන ගෙන, විශ්ව විද්‍යාලයේදීත් ඉන්ග්‍රීසියෙන් වෙනම අංශයකට යොමු වූවත් සිංහල භාෂාව හොඳින් හසුරුවන්නට හැකියි . අපට ඒ කාලයේ සිටි ඉස්තරම්ම ගුරුවරුන්ට අපි ණයගැතියි.

      Delete
    2. අපරාදේ ඉංගිරිසියෙන් උගන්වන එක නැවැත්තුවේ. අවංකවම මේක ලොකුම අපරාදයක්

      Delete
  3. රසවත් මතකයක්. ගණිතය වගේ දේවල් ඉංග්‍රීසියෙන් උගන්වන එක ලේසියි මම හිතන්නෙ.

    ReplyDelete
    Replies
    1. ස්තුතියි ප්‍රසන්න,
      දැන්නම් පොත පත සහ වෙනත් මාධ්‍ය තිබෙන නිසා ගණිතය සිංහලෙන් ඉගැන්වීම එතරම් අපහසු නැති බවයි මට සිතෙන්නේ. ඒ උනත් ගැටලුවකට තිබෙන්නේ සමහර සංස්කෘත ආරයේ පාරිභාෂික වචන නිසා ගණිතය එපා වෙන අවස්ථාත් තිබෙනවා ඇති.

      Delete
  4. රසවත් අතීතයක්....
    ජයවේවා!!!

    ReplyDelete
  5. ස්තුතියි දුමී,
    කවි ?

    ReplyDelete
  6. ARA GATALUWA MATHAKA NADDA OBA THUMATA DANNAKO EKA

    ReplyDelete
  7. ස්තුතියි රන්සතු,
    පොත දැන් ළඟ නැහැ.ලැබුණු විගස දාන්නම්.

    ReplyDelete
  8. රසවත් මතකයක්. මම ඉස්සර විජ ගණිතයට වඩා ජ්‍යාමිතියට දක්ෂයි. ඒ දවස් වල හවස ගිය ගණන් පන්තියේ ටිචර් එක්ක තරගෙට ජ්‍යාමිතිය ගණන් හැදුවා.

    පස්සේ මම මුලින්ම රස්සාවට ආපු කාලේ දවසක් ඔය පොඩි අවුලක් වෙලා මගේ ලොක්කා ලඟට ඇවිල්ල කිව්වා "පුතා ඔයාට තියෙන්නේ බුලියන් අල්ජිබ්‍රා ප්‍රශ්නයක් කියල... හෙහ් හෙහ්

    ReplyDelete
  9. ස්තුතියි පැතුම්,
    'Boolean algebra' කියන්නෙත් බොහොම පැරණි සිද්ධාන්ත එකතුවක් නේද?
    මෙය අංක වලින් දක්වන ගණිතමය සංකල්ප වුවත්, ඒවා දැනට නැතුවම බැරි 'programming' භාෂාවක් ලෙසටත් සංඛ්‍යාන විද්‍යාවේ විවිධ කටයුතු සඳහාත් භාවිත කරනවා නේද?

    ReplyDelete
    Replies
    1. ඔව් Boolean algebra කියන්නේ විජ ගණිතය යටතේ තියෙන එක කොටසක්. පරිගණක තාක්ෂනය (ප්‍රෝග්‍රෑමින් ) වලදී නැතුවම බැරි දෙයක්. දැනටත් මට වැඩ කරද්දී ඔය මොකක් හරි තාර්කික ප්‍රශ්නයක් ආවම ඔළුවට එන වචනේ Boolean algebra අවුලක් කියන එක .. හෙහ් හෙහ්

      වීජ ගණිතය පාවිච්චි කරලා 1=2 කියල ඔප්පු කරන්න පුළුවන් විදියක් තියෙනවා. ඉස්සර ඉතින් ගණන් නොදන්න අයට ඕක ඔප්පු කරලා පෙන්නලා හරි ආතල් එකක් ගත්තේ ... හෙහ් හෙහ් මේ සිද්දි මතක් වෙන එක හරිම සතුටු දායක හැඟීමක් ...

      Delete
  10. මට හිතෙන හැටියට ඔබ රැකියාවට ගිය මුල කාලයේ ඔබට සිටි බොස්, මා වගේම, පැරණි ගණිත ගුරුවරයෙකුගෙන් ගණිතය ඉගෙන ගත් අයෙකු විය හැකියි. ඔහුත් Boolean algebra ගැන අසා ඇතත්, මා වගේම එහි ප්‍රායෝගික භාවිතය ගැන වැඩි අවබෝධයක් නැති කෙනෙක් වාගෙයි.
    ඔබගේ blog post එකටත් ගියා. එහෙන් මෙහෙන් කියවූවා. මේ වගේ සිද්ධිත් ලියන්නට හැකිනේ.

    ReplyDelete
  11. සුන්දර සටහනක්. දිගු අතීතයක නූනත් වසර හත අටකට පෙර පාසල් සමය සිහිපත් වුණා. මා වඩාත් සාහිත්‍යයට ආසා කළ නිසා ඒ පැත්තට හැරුණත් ආසා උපදවන ලෙස ගණිතය ඉගැන්වූ ගුරුවරියන් දෙදෙනෙක් නිසා ගණිතයට ආදරය කළ ඒ දවස් හරි සුන්දරයි!

    ReplyDelete
  12. ස්තුතියි Rain Girl,
    එදත් අපගේ ආදරණිය ගුරුවරු සිටියා. අදත් සිටිනවා. ඒ සෑම කෙනෙකුගේම සුවිශේෂී චර්යා වලින් අප ජීවිතාවබෝධය ලබා තිබෙනවා. මා ඉගැන්වීමේ මාධ්‍යය ඉංග්‍රීසි තිබෙන කාලයේ විද්‍යාව හැදෑරූ කෙනෙක් වුවත්, ඒ කාලයේ අපට ඉතාමත් හොඳින් සිංහල භාෂාව සහ සාහිත්‍යය ඉගැන්වූ ගුරුවරු සිටියා. ඒ නිසා තමයි දශක හයකට පස්සෙත් භාෂාව හොඳින් හසුරවා යමක් ලිවිය හැක්කේ. පැරණි ගුරුවරු ගැන මා කලින් Blog post කිහිපයකම ලියා තිබෙනවා.කැමතිනම් කියවන්න.

    ReplyDelete
  13. පාසල් සමයේ මගෙත් ප්‍රියතම විෂය ගණිතය. හැමදාම 100යි. නැත්නම් 90 ට වඩා වැඩියි. පුදුම තරඟයක් තිබුනේ පන්තියේ ගණිතය විෂයට. ඒ උගන්වපු ආදරණීය ගුරුවර, ගුරුවරියන්, (මතක ආකාරෙයෙන් ගුරුවරුන් සිටියේ දෙදෙනෙකු පමණයි) පිලිබඳ අදටත් සිතෙහි පවතින්නේ අසීමිත ආදරයක්. මිහිරි මතක ගොන්නක් අවදිකළ ඔබට හදපිරි තුති.

    ReplyDelete
  14. ස්තුතියි විනීත,
    පාසල් කාලයේ සිද්ධි මතකයට නැගෙන විට හරිම සුන්දර බවක් දැනෙනවා.විශේෂයෙන්ම ඒ කාලයේ සිටි ගුරුවරුන්ගේ කැපවීම සහ ඉගැන්වීමේ දක්ෂතාව. අද වගේ දැනුම සොයා ගත හැකි ක්‍රමෝපායයන් නොතිබුණු ඒ කාලයේ එකම පිලිසරණ වුයේ ගුරුවරයායි. අද දැනුම අධිකතර ලෙස ප්‍රසාරණය වී තිබෙන නිසා 'ගුරුවරයා' යන සංකල්පයත් වෙනසකට ලක් වෙමින් පවතිනවා. අද සමහර අධ්‍යාපනික ලියකියවිලි වල 'teacher' යන වචනය වෙනුවට 'facilitator' යනුවෙන්ද භාවිත කරනවා. 'පහසුකම් සලසන්නා' යන අර්ථය ලැබෙන එම වචනය අප දන්නා ගුරුවරුන් හැඳින්වීමට නම් ප්‍රමාණවත් නැහැ වගෙයි.
    ඔබගේ අනිකුත් Blog සටහන් කිහිපයකටත් එබිකම් කළා. දිගටම කියවීමට බලාපොරොත්තු වෙනවා.

    ReplyDelete
  15. ඉතා රසවත් අතීතයක් ..ලිවීමත් රසවත්. මගේ ළඟ දැනට පැරණිම පොතකට තියෙන්නේ Textbook of botany Joshua and Pulimood 1941 මට විශ්ව විද්‍යාල මිතුරියක් තෑගි කළ පොතක්.

    ReplyDelete
  16. ස්තුතියි මාලිනි,
    Textbook of Botany - Joshua and Pulimood 1941 පොත මා ලඟත් තිබෙනවා. දැනටත් ශාක නමක් සොයන්නේ මුලින්ම ඒ පොතෙන්. ඒ වගේම මා තවත් අගය කරන පැරණි An English Grammar and Composition - Wren and Martin පොතත් තිබෙනවා. ඒකත් නිතර ප්‍රයෝජනවත් වෙනවා.
    මම Botany පොත මිලයට අරන් තියෙන්නේ කළුතර Owen Joseph පොත් හලෙන් 1955 දී OL කරද්දී. මිල රුපියල් 9.35 යි

    Botany පොතේ Proof කියවීම ගැන අපේ කාලේ Botany Prof. වූ BLT සිල්වා මහතාටත් ස්තුති කර තිබෙනවා. පොතේ Forward සහ Preface කියවා බලන්න. අප විසින් රටේ දරුවන්ට දීමට උත්සාහ කරන පරිසර සංකල්ප 1940 දශකයේදීත් මතක් කර දී තිබෙනවා.

    ReplyDelete
    Replies
    1. ඔව් සර් An English Grammar and Composition Wren and Martin හා Living English Structure වගේ පොත් මමත් හුගාක් පාවිච්චි කළා. අපේ ගෙදර English පොත් විශාල සංඛ්‍යාවක් තියෙනවා. Husbandb හා දුව ආශා ගේ. ඒ අය English teachers නිසා.

      Delete
  17. ජේ ඊ ජයසූරිය මහතාගේ ජ්‍යාමිතිය වීජ ගණිතය පොත් අපේ තාත්තා මට කරවනවා ඒ කාලේ. ඒ අභ්‍යාස කලාම ඕන ගානක් හදන්න පුළුවන්....

    ReplyDelete
  18. ස්තුතියි ඉනෝකා,
    ඔබ මීට කලින් මගේ Blogs වලදී හමු වී නැතුවා වගෙයි. සම්බන්ධ වීම ගැන ස්තුතියි. මා වසර 40 ක් පමණ අධ්‍යාපනයේ සෑම අංශයකම වාගේ නිරත වී සිටි නිසා පළපුරුද්දෙන් අත් විඳීමට ලැබුණු දේ ගැනයි ලියන්නේ. ඔබට ජයම!

    ReplyDelete