Tuesday, 28 November 2017

අප, ගණිත සංකල්පද කටපාඩම් කළ කාළයක් විය......

  ප හතරේ පන්තියේ ඉගෙන ගන්නා කාලයේ, පන්ති භාර ගුරුවරයා වූයේ ප්‍රනාන්දු මහත්මයාය. ලා අලුපාටට හුරු ට්වීඩ් රෙද්දක් සහ සුදු කමිසයක් හැඳ, ඉනෙහි සුදු කැන්වස් පටියක්ද බඳින ඔහු උදේ පන්තියට එන විට කෝට් එකක්ද හැඳ සිටි. තරමක් දහවල් වන විට කෝට් එක දිග හැර ගුරු පුටුවේ පිටු පසට දමා එල්ලා තබයි. අපට ඉංග්‍රීසි පාඩම හැර සංඛ්‍යා (අංක ගණිතය), මවු බස, සෞඛ්‍යය, ස්වභාව  අධ්‍යයනය ආදී සියලුම විෂයයන් ඉගැන්වූයේ ප්‍රනාන්දු මහතායි.

ඉතාම සුළු වරදකට වුවත් වේවැල් පහරවල් කිහිපයක් දෙන නිසාත්, සැර වැර ගතිය නිසාත් අපි නිතරම ඔහුට‌ බියෙන් සිටියෙමු. ඔහු පාසල අසලම ගෙදරක නේවාසිකව සිටියේය. ඒ ගෙදරම කෙනෙකු වන සිරිසේන අපේ පන්ති නායකයාය. ඔහු පන්ති නායකයා වුයේ කෙසේද කියාවත් අප නොදත්තෙමු. 

සිරිසේනටද වැදගත් වැඩ කිහිපයක් පැවරී තිබුණි. උදෙන්ම ලොකු ඉස්කෝලේ හාමිනේගෙන් පන්ති නම් පොත සහ සුදු රටහුණු කුරක් ඉල්ලා ගෙන  ඒම, ගල්ලෑලි මැකීම සඳහා ටින් එකකට වතුර දමා එය තුලට කුඩා කොළ අතු කැබෙල්ලක් දැමීම, මල් පැල වලට වතුර දැමීම,  ආදිය ඉන් කිහිපයකි. මේ කිසිවකවත් අඩුපාඩුවක් තිබුනහොත් සිරිසේනට වුවද ටොකු පහරවල් කිහිපයක් කෑමට සිදුවේ.

අපේ පන්තියේ ළමයි විසි දෙනෙක් පමණ සිටියහ. මෙයින් අඩක්‌ පමණ බාලිකාවන් වුහ. පිරිමි ළමයින්ගේ ඇඳුම සරම සහ බැනියම වූ අතර කිහිප දෙනෙකු ජංගියද ඇන්ඳහ. කොට කලිසම ඇන්දේ සිරිසේන සහ මා පමණකි. ගැහැණු ළමයින්ගේ ඇඳුම චීත්ත ගවුම විය.

ප්‍රනාන්දු මහතා පිළිවෙලකට වැඩ කළ කෙනෙකි. පන්තියේ නම් ලකුණු කළ වහාම ඔහු ළමයින්ගේ පිරිසිදු කම ගැන බලයි. දත් මැද තිබීම, හිස පීරා තිබීම, නියපොතු කපා තිබිම, ඇඳුමේ ඉහල කොටසේ තුනට නැමූ ලේන්සුවක් එල්ලා තිබිම වැදගත් සෞඛ්‍ය පුරුදු විය.  මෙයින් එකක වත්  අඩුපාඩුවක් තිබුනොත් වේවැල් පහර කිහිපයක් අනිවාර්ය වේ. අපට දිනපතාම පළමු කාල ඡේදය වූයේ සංඛ්‍යා පාඩමයි. මේ පාඩමේදී කිහිප දෙනෙකුට වේවැල් පහර නොවැදුනු  දින ඇත්තේ නැති තරම්ය.

පුරා මාසයක් පමණ මුලික ගණිත ක්‍රම (එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, වැඩිකිරීම සහ බෙදීම)   අභ්‍යාස රාශියක් කිරීමෙන් පසුව අපට ගුණිත වගු (multiplication tables) කට පාඩම් කිරීමට සිදුවිය. (ඒ කාලයේ භාවිත කළේ ‘චක්කරය’ යන නමයි). එක්‌ වගුවක් කට පාඩම් කිරීම සඳහා ලැබුණේ දින දෙකක් පමණකි. දෙවරක්, තුන්වරක්, හතරවරක් සහ පස්වරක් චක්කර කට පාඩම් කිරීම එතරම් අමාරු නොවිය. අපට ඒ මාසය තුලදී දොළොස් වරක් දක්වා චක්කර කට පාඩම් කිරීමට සිදුවිය. හය වරක් සිට දොළොස් වරක් දක්වා කට පාඩම් කිරීම තරමක් දුෂ්කරය.
අපගෙන් ගුණිත චක්කර කට පාඩම් ගැනීම, අපේ ගුරු තුමාට මහත් විනෝදයක් විය. ඒ අන් කිසිවක් නිසා නොව, කිහිප දෙනෙකුට ‘වේවැල් කෂාය’ දීමට ඔහුට  අවස්ථාව ලැබෙන නිසා විය හැකිය. ඔහු  චක්කර කටපාඩම් ගත්තේ අමුතුම ක්‍රමයකටය.

පන්තියේ සිසුන් සියලු දෙනාම එක්‌ පෙළකට සිටුවා, ඔහු පේළිය ඉදිරියට පැමිණ, ‘හත්වරක් අට?’ ‘නවවරක් හය?’  යනාදී සංඛ්‍යාවක් පේළියේ මුල සිටින සිසුවාගෙන් අසයි. එයට ක්ෂණයකින් පිළිතුරු දිය යුතුය. පළමු සිසුවාට හරි පිළිතුර බැරි වුවහොත් ඔහුට පේළියේ අන්තිමට යාමට සිදුවේ. ඊළඟට එම ප්‍රශ්නයම දැන් මුලට සිටින සිසුවාගෙන් අසයි. ඔහුගෙන් හරි පිළිතුර ලැබුනොත්, ඊළඟ සිසුවාගෙන් වෙනත් චක්කර ප්‍රශ්නයක් අසයි. මේ ලෙසට පිළිතුර ක්ෂණිකවම බැරි වන සැම කෙනෙක්ම පේලියේ කෙළවරට  යැවේ.

සංඛ්‍යා කාල ඡේදය අවසන් වන සීනුව නාද වූ විගසම පේලියේ අන්තිමට සිටින පස් දෙනෙකුට, ‘චක්කර බැරි වීම නිසා’, එක අයෙකුට පහරවල් දෙක බැගින්  අත්ලට වේවැල් කෂාය දීම ඔහුගේ හොඳම විනෝදාංශයයි. මේ අමුතුම පන්නයේ අමානුෂික දඬුවම එක වරක් වත් විඳ නැති අය අපේ පන්තියේ නොවිය.

1948 වර්ෂයේදී පමණ වූ මෙම සිද්ධිය සටහන් කළේ එකළ ඉගැන්වීමේ දොසක් පෙන්වීමට නොවේ. ගුණිත වගුව   මතක තබාගැනීමට පහසු ක්‍රම තිබියදීත්  එය  කටපාඩම් කිරීමට දරුවන් පෙළඹවුයේ මන්ද යන්නට සැලකියයුතු පිළිතුරක් සොයා ගැනීමට නොහැකි නිසාය.
අපට කට පාඩම් කිරීමට සිදුවූ  ගුණිත චක්‍රය (වගුව) මෙසේය.


පැරණි ‘චක්කර’ සටහනක්

මෑතක් වන තුරුම අප පාසල්වල භාවිත කලේ මෙම ආදී කාලින ගුණිත වගුවයි  (මෙය කිසිසේත් වගුවක් ලෙස නම් කළ නොහැකිය. එසේම එය චක්‍රයක්ද නොවේ)  මෑතක් වන තුරුම, බොහෝ සිසු අභ්‍යාස පොත් මුද්‍රණය කරන්නෝද තම පොත්වල පිට කවරයේ මුද්‍රණය කළේද මෙයයි. මේ සෑම කෙනෙක්ම පයිතගරස් ගණිතඥයාගේ  කාලයේ සිටම පැවති පහත දැක්වෙන සරල ගුණිත වගුව  භාවිතයට නොගත්තේ මන්ද යන්න ගැටලුවකි.


පයිතගරසියානු ගුණිත වගුව

මෙහි දක්වා ඇත්තේ නවවරක්  දක්වා වගුව පමණකි. මෙය අවශ්‍ය පරිදි ඉහලට දිගු කර ගත හැකිය.

දශක කිහිපයකට පෙර අධ්‍යාපනය ලැබූ බොහෝ අයට ඔවුන් භාවිත කළ ‘වරක්  චක්කරය’ සහ මෙම  වගුව   සංසන්දනය කළ විට මෙහි තිබෙන වෙනස පැහැදිලිව පෙනෙනු ඇත.


ගුණිත වගුවේ ‘රටා’ හඳුනා ගනිමු.

·   පැරණි චක්කරයේ මෙන් මෙම වගුවේ අනවශ්‍ය තොරතුරු හෝ අනවශ්‍ය ඉඩකඩ ගැනීමක් සිදු නොවේ.
·    වගුව තේරුම් ගැනීම පහසුය.
·   මෙහි සිසුවාට අවශ්‍ය තොරතුරු ලබාගැනීම පිණිස, සිතීමට සලස්වා තිබේ. පැරණි එකෙහි කෙලින්ම පිළිතුර දී තිබේ.
·  මෙහි යම්කිසි ‘රටා’ කිහිපයක් ඇති නිසා බලෙන්  කට පාඩම් නොකළේ වුවද මතක  සිටී.
·   මිනිස් මනසෙහි බොහෝ දේ රැඳී සිටිනුයේ  සමාන අසමාන කම් විවිධ රටා ඔස්සේ තේරුම් ගත් විටය.
·  මෙම වගුවෙහි වම් පැත්තේ මුදුනෙහි (අංක 1)  සිට දකුණු  පැත්තේ පහල අග්‍රය (අංක 81) දක්වා විකර්ණ (diagonal) ලක්ෂ්‍යයක් ගතහොත් එම ලක්ෂ්‍යය දෙපැත්තේ ඇති සංඛ්‍යාවල සමමිතික රටාවක් තිබේ. චක්කරවල එසේ නොමැත.
·  මෙම ලක්ෂ්‍යයේ පිහිටන සංඛ්‍යා වගුවේ පළමු සිරස් පේළියේ අදාළ සංඛ්‍යාවේ වර්ග සංඛ්‍යාව බව පෙනේ. මෙයද රටාවකි.

එසේම වගුවේ දක්වා තිබෙන 12, 16, 35 සංඛ්‍යා විකරණය දෙපැත්තේ පිහිටන ආකාරයේ තිබෙන සමමිතික රටාව වැනි තවත් බොහෝ රටා මෙම වගුව විමසිල්ලෙන් බලන කෙනෙකුට සොයා ගත හැකිය. යම්කිසි ඉගෙනුම් ක්‍රියාවලියකදී පැහැදිලිව පෙනෙන රටා ඇතිවිට එම ඉගෙනුම වඩා ප්‍රබෝධමත් වේ.

මේ ආකාරයට රටා හඳුනාගෙන ලබාගන්නා අවබෝධය සහිත දැනුම ගිරවුන් මෙන් කටපාඩම් කර ගැනීමෙන් ලබන (rote learning) අසම්පූර්ණ දැනුමට වඩා බෙහෙවින් ප්‍රයෝජනවත්ය.  දශක හතකට පමණ ඉහතදී කෙසේ වෙතත් අද ඇති තාක්ෂණ දියුණුව නිසා මෙවැනි වගු නොමැතිව වුවද වැඩ කටයුතු කර ගත හැකිය.

අධ්‍යාපන ක්‍රියාවලියේදී උපදෙස්ද අවශ්‍යවේ. එමෙන්ම අත්දැකීම් මගින් ලැබෙන සංජානනය (perception) ආශ්‍රිතව ප්‍රත්‍යක්ෂ භාවය ඉතාමත්ම සඵල ඉගෙනුම් මගයි. 



දරුවන්ට ලබා දිය යුතු ගුණිත වගුව.

කෙසේ වෙතත් ඔ‍බගේ දරුවන් හෝ මුණුපුරු මිණිපිරියන් තවමත් ඉගෙනුම් මගෙහි ලාබාල අවස්ථාවල නිරතව සිටිත් නම්, ඔව්හු තවමත් අධ්‍යාපන වටිනාකමින් අඩු මෙම  පැරණි ‘චක්කර’ භාවිත කරන්නේද යන්න ගැන විමසිලිමත් වන්න.


18 comments:

  1. ඉස්කෝලෙදි චක්කර පාඩම් නොගත්තට, ගෙදරදී අම්මා චක්කර පාඩම් කෙරෙව්වා, 6 වරක්, 8 වරක්, 11 සහ, 12වරක් රටා තනිවම හඳුනා ගත් නිසා පහසුවුනත්, 7 සහ 9 වරක් චක්‍ර අසීරු වුණා, ඇය පිළිවෙලින් පාඩම් ගත නිසා 7ක්ට පෙර 8 වරක් සහ, 9 වරකට පෙර 11 වරක් පාඩම් දී ඇය රැවටීමට හැකිවුණා.

    ReplyDelete
    Replies
    1. ඇණස්,

      9 වරක් කියන්නේ ලේසිම එකනේ. 2 වරක් වලටත් වඩා ලේසියි.

      අත් දෙකම මිට මොලවා ගන්න.
      9 X 1 : වම් අතේ 1වන ඇඟිල්ල (මාපට ඇඟිල්ල) උස්සන්න. උත්තරය: උස්සපු ඇඟිල්ලට පෙර නවන ලද ඇඟිලි 0, උස්සපු ඇඟිල්ලට පසු නවන ලද ඇඟිලි 9 :09
      නැවත අත් දෙකම මිට මොලවා ගන්න.
      9 X 2 : දැන් දෙවෙනි ඇඟිල්ල (දබර ඇඟිල්ල) උස්සන්න. උත්තරය : උස්සපු ඇඟිල්ලට පෙර නවන ලද ඇඟිලි 1, උස්සපු ඇඟිල්ලට පසු නවන ලද ඇඟිලි 8 :18

      වැඩේ හරි නේද?. 9 X 10 වෙනකම්ම ඕක කරන්න පුළුවනි.

      Delete
    2. ස්තුතියි ඇනස්‌ මල්ලි,
      ප්‍රාථමික පන්තිවලදී ඔබ කර ඇති ආකාරයේ සම්‍යක් ප්‍රයෝග අපත් කර
      තිබෙනවා. ඒ උනත් අපට හතර පන්තියේ උගන්වපු ප්‍රනාන්දු ගුරු තුමාගේ ක්‍රමය නිසා ඒවා කරන්නට බැරි උනා. දැන් බලන විට පේනවා අප භෝ දේ කිසිම අවබෝධයක් නොමැතිව ඉගෙන ගෙන තිබෙන බව.

      Delete
    3. විට්ටර් මල්ලි, ස්තුතියි
      ඇනස්‌ මල්ලිට ඔබ කියාදී තිබෙන කෙටි ක්‍රමය හරි අගෙයි. මෙය බොහෝ කලකට පෙර මාත් කාගෙන්දෝ ඉගෙන ගත්තා. එය අමතක වෙලයි තිබුණේ. මේ ක්‍රමයේ වැදගත් ගණිත පසු බිමක් තිබෙනවා. එය ගැනත් දන්නවා නම් පැහැදිලි කරන්න.

      Delete
  2. ඉතාම මෑතකදි දැක නැති වුණත් මම හිතන්නේ ලංකාවේ අභ්‍යාස පොත් බොහොමයක අර පැරණි ක්‍රමය පිටිපස්සේ පිටුවේ ප්‍රින්ට් කරලා තියනවා. ඇත්තටම "පයිතගරසියානු ගුණිත වගුව" මම මේ දැක්කමයි. ඒ සංකල්පයෙන්ම සැකසුණු වෙනත් වගු නම් දැක තිබෙනවා, නමුත් චක්කරය මේ ආකාරයට ඉදිරිපත් කරල තියනව මම මේ දැක්කමයි. මටත් එක පාරටම හිතුණේ මෙච්චර පහසුවෙන් ඉදිරිපත් කරන්න පුලුවන් දෙයක් ඇයි අර කෝට්ටේ ගියා වගේ ඉදිරිපත් කරන්නේ කියලා.

    ReplyDelete
    Replies
    1. ස්තුතියි තිසර,
      /මම හිතන්නේ ලංකාවේ අභ්‍යාස පොත් බොහොමයක අර පැරණි ක්‍රමය පිටිපස්සේ පිටුවේ ප්‍රින්ට් කරලා තියනවා/
      අපේ ප්‍රින්ටර්ස්ලාත් මේ කිසිවක් ගැන සිතන්නේ නැතිව පරණ හණමිටි ක්‍රමයම අනුගමනය කරන්නේ මොකද? මේ ක්‍රමය භාවිත කළහොත් මුල් අවදියේදීම ගණිතය එපා වෙන දරුවන්ගෙන් සෑහෙන ප්‍රතිශතයක් ගොඩ දාගන්නට හැකිවේවි.

      Delete
  3. කට පාඩමෙන් හුරු නැතිවිට චක්කරේ
    මට මතකයි ගුරුවරයගෙ බරබරේ
    හිට ගෙන මේසෙ උඩ දඩුවම් ජරමරේ
    කට පාඩමෙන් චක්කරෙ දෙයි කරදරේ....

    ජයවේවා!!!

    ReplyDelete
    Replies
    1. ස්තුතියි දුමි,
      කට පාඩම් කළත් 'චක්කර' සියල්ල ම
      ගිරවුන් වගේ කියවීමෙන් පලය කී ම?
      අවබෝධයෙන් කළහොත් එහි විමසී ම
      මතකයෙ තිබේ මේ වගුවත් හැමදා ම

      Delete
  4. ලා අළු/නිල් පාටට තිබුන රෙද්ද ට්වීඩ් ද?

    ReplyDelete
    Replies
    1. ස්තුතියි Pra Jay,
      ඒ කාලයේ රෙදි සහ කෝට් අඳින පාසල් ගුරුවරු වැනි ප්‍රභූ අය අඳින තරමක් ඝනකම රෙදි ට්වීඩ් රෙදි කියා හැඳින්වුවා. ඇත්ත Tweed රෙදි එංගලන්තය වගේ සිතල රටවල ලෝම ඇඳුමක් වුවත් අපට ලැබුණු තරමක් ලෝම මිශ්‍ර ඝනකම සහිත කපු රෙද්දටත් Tweed කියන්නට පුරුදු වී සිටියා.

      Delete
  5. පොඩි පන්තිවලදි නං කමක් නෑ කියමුකො. සා. පෙළදිත් චක්කරේ පාඩං කරවන සර් කෙනෙක් හිටිය මෙහේ. මම පොරගෙ පන්තියට යන වග දැනගත්ත අපේ පංතියෙ ළමයෙක්ගෙ අම්ම කෙනෙක් (ගණං ගුරුතුමියක්) මාව එතනිං ගලෝගෙන එයා උගන්නපු හින්ද තමයි ගණං පාස්වෙන්න පුලුවන් උනේ. නැත්තං තාම චක්කරේ පාඩං කරනව. හැක්..

    ReplyDelete
    Replies
    1. ස්තුතියි ප්‍රසන්න,
      මේ විධියට බලන කොට දැන් සිටින තරමක් වැඩිහිටි පරම්පරාවේ බොහෝ දෙනෙක් චක්කර පාඩම් කිරීමේ දුෂ්කර ක්‍රියාවට මුහුණ දී තිබෙනවානේ. පාසල් සිසුන් සඳහා තිබෙන අභ්‍යාස පොත් වල තවමත් තිබෙන්නේ මේ පැරණි චක්කරම නේද?

      Delete
  6. ස්තුතියි ඔබට !

    ලිපිය හා සබදතාවයක් නොවුනත් සංඛ්‍යා හා සම්බන්ද ඉතා රසවත් තොරතුරක් ඇති (බොහෝවිට ඔබලා කලින් අසා ඇතුවාට සැක නොමැති) පහත සබැදිය සටහන් කිරීමට සිත් විණි.

    https://www.youtube.com/watch?v=VPPAgcImJ3c

    ReplyDelete
    Replies
    1. ස්තුතියි ඔබටත් !
      ඔබගේ link එකේ තිබුණු clips කිහිපයම බැලුවා. අවුරුදු තිහ හතළිහකට ඉස්සර දැක, අමතකවී තිබුණු වැදගත් කරුණු ටිකක් ඒකෙන් නැවත මතක් කර ගන්නට ලැබුණා. සංඛ්‍යා රටා ගැන උනන්දුවක් තිබෙන අයට මෙය ඉතාමත් ප්‍රයෝජනවත් වේවි.

      Delete
  7. අපිට අයිකිව් පංතියකදි හම්බුනා සරත් ... (අග කොටස මතක නෑ) කියල සර් කෙනෙක්. එයා කියාදුන්න ගොඩක් ලේසි ක්‍රම වැඩිකරන්න, වර්ගකරන්න, වර්ග මූල, අඩු කරන්න... එයා කිව්වෙ art of problem solving කියල සර්ච් කරන්න කියල. එතකොට ඔය වගේ ක්‍රම හොයාගන්න පුළුවන් කියල. අයි කිව් වලට ගොඩක්ම වැදගත් ඔය වගේ කෙටි ක්‍රම.

    අර පෛතගරස් ගුණන වගුව අපිට හය වසරෙදි ඉස්කෝල‍ෙ කියල දුන්න කියල මට මතකයි.

    ReplyDelete
    Replies
    1. ස්තුතියි Draki,
      ඔබට නම් හොඳ මග පෙන්වීමක් මුල් කාලයේදීම ලැබී තිබෙන බව පෙනෙනවා. එසේ ලබන දැනුම ප්‍රායෝගිකව භාවිතය පහසුයි.

      Delete